Első menüpont
Vizsgáljuk meg a két pontszerű test között ható elektromos erőt mint vektormennyiséget! Elsőként, az egyszerűség kedvéért helyezzük $q_1$ töltésünket koordináta-rendszerünk origójába. A $q_2$ töltés helyvektorát jelölje ${\vec{r_2}}$, amint \aref{toltesek2} ábrán látható. A egyenlet vektoros alakja így alakul:
\begin{equation} \vec{F}_{21}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\vec{r_2}|^2} \cdot\frac{\vec{r}_2}{|\vec{r}_2|}. \label{coulombvec} \end{equation}Vezessük be a következő jelölést: $\frac{\vec{r}_2}{|\vec{r}_2|}=\hat{\vec{r}}_2$. A ,,kalapos'' $r$ legyen a $q_1$--et és $q_2$-t összekötő egyenes irányába mutató egységvektor. Ekkor így módosul az egyenlet:
\begin{equation} \vec{F}_{21}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\vec{r_2}|^2} \cdot\hat{\vec{r}}_2. \label{coulombvec2} \end{equation} \subsubsection*{Általános esetben} \Aref{coulombvec2} egyenletet általánosíthatjuk; vegyük ki az origóból a $q_1$-et . Az erő hatásvonala az $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ vektor iránya lesz. \begin{equation} \vec{F}_{21}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1\cdot q_2} {|\vec{r}_2-\vec{r}_2|^2}\cdot\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|} \end{equation} A ,,kalapos'' $r$ egységvektorunk az $\vec{r}_2-\vec{r}_1$ különbségvektor lenormált formája lesz. Tehát $\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|}$-t nevezzük $\hat{\vec{r}}_{21}$-nek. Az általános vektoriális Coulomb törvény a következő: \begin{equation} \vec{F}_{21}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2} {|\vec{r}_2-\vec{r}_2|^2}\cdot\hat{\vec{r}}_{21} \end{equation} A Coulomb törvény tárgyalásakor szóba került Newton III. törvénye. Joggal merülhet fel a kérdés, hogy ebben az esetben is $F_{21}=F_{12}$? Természetesen az erők nagysága ugyanaz. Irányuk viszont ellentétes: $\vec{r}_2-\vec{r}_1=-(\vec{r}_1-\vec{r}_2)$. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Donec ligula augue, semper quis pulvinar in, egestas id tortor. Aenean magna massa, eleifend non blandit quis, cursus mattis mauris. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Phasellus placerat mollis semper. Nullam lacinia magna quis urna tempus in scelerisque dui auctor. Cras volutpat suscipit dui, vel consequat nibh volutpat sit amet. Aenean eu mattis diam. Integer pulvinar consequat massa vitae feugiat. Duis vitae orci vitae sem lacinia pellentesque vehicula quis est. Maecenas a augue lorem. \begin{equation} \vec{E}(\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\sigma\cdot r'\;\mathrm{d}r'\;\mathrm{d}\varphi}{{({r'}^2+z^2)}^{3/2}}\cdot(z\vec{k}-r'\cos\varphi\;\vec{i}-r'\sin\varphi\;\vec{j}) \end{equation} Hasonlóan az előző példához, a szinuszos és a koszinuszos tag integrálja $0$ lesz. Kiemelve az integrálástól független tagokat: \begin{equation} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{0}^{R}\frac{\sigma\cdot r'\;\mathrm{d}r'\;z\vec{k}}{{({r'}^2+z^2)}^{3/2}}\cdot \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{0}^{R}\frac{2\pi\sigma\cdot r'\;\mathrm{d}r'\;z}{{({r'}^2+z^2)}^{3/2}}\;\vec{k} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 2\pi\sigma\vec{k}\int\limits_{0}^R\frac{r'}{{({r'}^2+z^2)}^{3/2}}\;\mathrm{d}r'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 2\pi\sigma\vec{k}\left[\frac{-1}{\sqrt{({r'}^2+z^2)}}\right]_0^R \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 2\pi\sigma\vec{k}\left(\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\vec{k} \end{equation} Mivel $z > 0$, ezért: $\frac{z}{|z|}=1$ \begin{equation} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\vec{k} \end{equation}